부분분수를 이용한 수열의 합

대수 · 수열 — 분모가 두 인수의 곱인 분수는 부분분수로 쪼갠다: 1/{k(k+d)} = (1/d)(1/k − 1/(k+d)). 합을 쓰면 가운데 항들이 연쇄 소거(망원급수)되어 처음·끝만 남는다.

1. 직접 해보기

차이 d 와 항의 개수 N 을 조절한다. 막대는 부분합 Sₙ 이며, n 이 커질수록 극한값 (1/d)(1 − …) 에 수렴하는 모습을 확인하자.

–

Σ (f(k) − f(k+1)) 꼴은 Sₙ = f(1) − f(n+1) 로 단숨에 정리된다. 부분분수·유리화·로그의 차 등으로 이 꼴을 만드는 것이 관건. 무한급수면 n → ∞ 로 f(n+1) → 0 인지 본다.

핵심 분모가 곱이면 부분분수로 쪼개 차의 합으로 만든다. 가운데가 소거되고 처음·끝 몇 개만 남는다(망원급수).