삼각함수 사이의 관계

대수 · 삼각함수 — 단위원 위의 점 P(cosθ, sinθ) 하나에서 세 삼각함수가 모두 나온다. 그래서 sin²θ + cos²θ = 1, tanθ = sinθ / cosθ, 1 + tan²θ = sec²θ 는 피타고라스 정리를 다시 쓴 것일 뿐이다.

반지름 1인 원 위에서 점 P를 드래그하면 각 θ가 바뀐다. 세로 길이가 sinθ, 가로 길이가 cosθ, 원에 그은 접선 위의 길이가 tanθ 다. 세 관계식이 항상 성립함을 수치로 확인하자.

1. 직접 해보기

캔버스에서 원 위의 초록 점 P를 드래그하거나 슬라이더로 각 θ를 조절하세요. 아래 칩을 누르면 θ와 관련된 각 (−θ, 90°−θ, 180°−θ, 180°+θ, 360°−θ) 의 점도 함께 표시됩니다.

각 θ (도)45.0

관계식	좌변	우변	일치
sin²θ + cos²θ = 1	–	1	–
tan θ = sin θ / cos θ	–	–	–
1 + tan²θ = sec²θ = 1/cos²θ	–	–	–

2. 세 관계식은 왜 성립하는가

단위원 위의 점 P 의 좌표가 정의상 (cosθ, sinθ) 이고, 원의 방정식이 x² + y² = 1 이므로 곧바로 다음이 나온다.

sin²θ + cos²θ = 1 (피타고라스 정리)

tanθ 는 직선 OP의 기울기이므로 (세로)/(가로) = sinθ/cosθ. 첫 식의 양변을 cos²θ 로 나누면 세 번째 식이 된다.

(sin²θ + cos²θ)/cos²θ = 1/cos²θ → tan²θ + 1 = sec²θ

마찬가지로 sin²θ 로 나누면 1 + cot²θ = csc²θ 를 얻는다.

3. 각의 사분면과 부호

P의 위치에 따라 x = cosθ, y = sinθ 의 부호가 달라진다. 「올 · 싸 · 탄 · 코」(All / Sin / Tan / Cos 가 양수) 로 외운다.

사분면	θ 범위	sin	cos	tan
1	0° ~ 90°	+	+	+
2	90° ~ 180°	+	−	−
3	180° ~ 270°	−	−	+
4	270° ~ 360°	−	+	−

4. θ 와 관련된 각의 삼각함수

	−θ	90°−θ	90°+θ	180°−θ	180°+θ
sin	−sinθ	cosθ	cosθ	sinθ	−sinθ
cos	cosθ	sinθ	−sinθ	−cosθ	−cosθ
tan	−tanθ	cotθ	−cotθ	−tanθ	tanθ

규칙 — ① 90°×n ± θ 에서 n이 짝수면 함수 이름 그대로, 홀수면 sin↔cos, tan↔cot 로 바뀐다. ② 부호는 «θ를 예각으로 볼 때» 90°×n ± θ 가 놓이는 사분면에서 원래 함수의 부호를 붙인다.

한 줄 요약 — 단위원 위 한 점 (cosθ, sinθ) 와 x²+y²=1 에서 sin²θ+cos²θ=1 이 나오고, 양변을 cos²θ 로 나누면 1+tan²θ=sec²θ. 부호는 사분면(올·싸·탄·코), 관련각은 「짝수는 그대로, 홀수는 이름 교환」으로 처리한다.

관련: 단위원과 삼각함수 · 삼각함수 그래프 · 사인법칙과 코사인법칙