에듀테크 프로젝트 대시보드
단위원과 삼각함수
고등학교 대수 — 삼각함수 단원. 반지름이 1인 원 위의 한 점의 좌표가 바로 (cos θ, sin θ) 다. 각을 돌려 보면서 사인·코사인 그래프가 어떻게 물결처럼 생겨나는지 직접 확인해 보자.
왼쪽 원에서 점 P를 마우스로 끌거나(터치도 가능), 아래 θ 슬라이더를 움직여 보자. 오른쪽 그래프에는 각 θ에서의 sin·cos·tan 값이 실시간으로 쌓인다.
중심이 원점이고 반지름이 1인 원을 단위원이라고 한다. x축 양의 방향에서 시계 반대 방향으로 각 θ만큼 돌았을 때 만나는 원 위의 점을 P라 하면, 정의에 의해
왼쪽 그림에서 초록 가로선의 부호 있는 길이가 cos θ, 파란 세로선이 sin θ 다. 주황선은 x = 1 위에 세운 접선까지 잰 길이로, 반지름 OP를 연장했을 때 접선과 만나는 높이가 tan θ 임을 보여준다. cos θ = 0 (θ = 90°, 270° …)이면 접선과 평행해져서 tan θ 는 정의되지 않는다.
반지름이 1인 원에서 호의 길이로 각을 재는 방법이 호도법(라디안)이다. 원 한 바퀴 호의 길이는 2π 이므로
| 도 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 라디안 | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
P의 위치에 따라 x좌표(cos)와 y좌표(sin)의 부호가 갈린다. "All Students Take Calculus"처럼 외우기도 한다.
| 사분면 | θ 범위 | sin θ | cos θ | tan θ | 모두 양수인 것 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0°~90° | + | + | + | 전부 |
| 2 | 90°~180° | + | − | − | sin |
| 3 | 180°~270° | − | − | + | tan |
| 4 | 270°~360° | − | + | − | cos |
θ가 360°(2π) 늘어나면 P는 제자리로 돌아온다. 그래서 sin, cos 는 주기가 2π 이고, 값의 범위는 −1 ≤ sin θ ≤ 1, −1 ≤ cos θ ≤ 1 이다. 반면 tan θ 는 주기가 π 이고 값의 범위에 제한이 없다(±∞ 로 발산).
P = (cos θ, sin θ) 는 반지름이 1인 원 위의 점이므로, 원점에서 P까지의 거리가 항상 1이다. 피타고라스 정리를 그대로 쓰면
위젯에서 어떤 각을 잡아도 sin² + cos² 를 계산해 보면 1이 나온다. 이 항등식은 삼각함수 계산의 뼈대다.
기본형 y = sin θ 에서
| 형태 | 바뀌는 것 | 예 |
|---|---|---|
| y = a sin θ | 진폭(최대·최소)이 |a| 로 | y = 2 sin θ → −2 ~ 2 |
| y = sin(bθ) | 주기가 2π / |b| 로 | y = sin(2θ) → 주기 π |
| y = sin(θ − c) | 그래프가 x축으로 c 만큼 평행이동 | y = sin(θ − π/2) = −cos θ |
| y = sin θ + d | 그래프가 y축으로 d 만큼 평행이동 | y = sin θ + 1 → 0 ~ 2 |
실제로 cos θ 는 sin θ 를 왼쪽으로 90° 민 것과 같다: cos θ = sin(θ + π/2). 위젯의 두 그래프를 겹쳐 보면 확인된다.