사인법칙과 코사인법칙

대수 · 삼각함수 — 삼각형에서 변과 마주보는 각 사이에는 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (사인법칙) 이 성립하고, 각을 낀 두 변과 마주보는 변 사이에는 c² = a² + b² − 2ab·cosC (코사인법칙) 이 성립한다.

세 꼭짓점을 드래그해 삼각형을 마음대로 바꿔 보자. 세 변 a, b, c 와 세 각 A, B, C, 그리고 외접원이 실시간으로 다시 그려지고, 두 법칙과 넓이 공식이 항상 성립함을 수치로 확인할 수 있다.

1. 직접 해보기

캔버스의 꼭짓점 A · B · C 를 드래그하세요. 변 a 는 각 A의 대변(=BC), b 는 CA, c 는 AB 입니다. 회색 원이 외접원, 그 반지름이 R 입니다.

a / sin A

–

b / sin B

–

c / sin C

–

2R (외접원 지름)

–

A + B + C

–

넓이 S

–

항목	a	b	c
변의 길이	–	–	–
마주보는 각 (도)	–	–	–

검증	좌변	우변	일치
코사인법칙 c² = a²+b²−2ab·cosC	–	–	–
넓이 S = ½·a·b·sinC	–	–	–

2. 사인법칙

삼각형 ABC의 외접원 반지름을 R 이라 하면

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

증명 스케치 — 변 a와 마주보는 각 A에 대해, 외접원에서 a를 현으로 보면 중심각은 2A(원주각의 2배)이고, 이 현의 길이는 a = 2R·sinA. 다른 변도 같으므로 비가 모두 2R 로 같다.

쓰임 — ① 두 각과 한 변(ASA, AAS) 이 주어지면 나머지 변을 바로 구한다. ② 두 변과 한 대각(SSA)이 주어지면 다른 각을 구한다(단, 삼각형이 0·1·2개일 수 있어 주의).

3. 코사인법칙

a² = b² + c² − 2bc·cosA , b² = c² + a² − 2ca·cosB , c² = a² + b² − 2ab·cosC

피타고라스 정리 c² = a² + b² 에 보정항 −2ab·cosC 가 붙은 꼴이다. C = 90° 이면 cosC = 0 이라 피타고라스 정리가 된다. C 가 예각이면 보정항이 음수라 c 가 더 짧고, 둔각이면 더 길다.

각에 대해 풀면 세 변에서 각을 구하는 공식이 된다.

cosC = (a² + b² − c²) / (2ab)

쓰임 — ① 두 변과 낀각(SAS) → 나머지 변. ② 세 변(SSS) → 세 각.

4. 삼각형의 넓이

S = ½·a·b·sinC = ½·b·c·sinA = ½·c·a·sinB = abc / (4R)

「두 변과 낀각의 sin」이면 넓이가 나온다. 세 변만 알 때는 헤론의 공식 S = √{s(s−a)(s−b)(s−c)}, s = (a+b+c)/2 를 쓴다.

한 줄 요약 — 변과 그 대각을 이으면 사인법칙 a/sinA = 2R, 낀각과 세 변을 이으면 코사인법칙 c² = a²+b²−2ab·cosC. 두 변과 낀각의 sin으로 넓이 S = ½ab·sinC 를 얻는다.

관련: 삼각함수 사이의 관계 · 단위원과 삼각함수 · 삼각함수 그래프