로그로 세상 재기 — 상용로그와 로그 스케일

고등학교 「대수」 — 지진, 소리, 별빛, 세균 수처럼 값의 범위가 1조 배씩 벌어지는 양들은 로그 스케일로 재야 한눈에 들어온다. 밑이 10인 상용로그 하나로 세상의 크기를 잰다.

1. 직접 해보기 — 선형 스케일 ↔ 로그 스케일

양을 하나 고르고 슬라이더를 움직여 보자. 선형 스케일에서는 큰 값 하나가 눈금을 독차지해 작은 값들이 바닥에 다 뭉쳐 버린다. 로그 스케일 버튼을 누르면 같은 값들이 고르게 퍼진다 — 눈금 한 칸이 ×10이기 때문이다. 캔버스를 세로로 드래그해도 값이 바뀐다.

2. 실생활 로그 척도 계산기 3종

우리가 매일 쓰는 "규모·데시벨·pH"는 전부 상용로그다. 슬라이더로 값을 바꾸며 로그 척도가 어떻게 정의되는지 확인해 보자.

① 리히터 규모 — 규모 1 차이 = 에너지 약 31.6배

② 데시벨 — dB = 10 log(I / I₀)

③ pH — pH = −log[H⁺]

3. 상용로그로 자릿수 세기

자연수 N 이 몇 자리 수인지는 ⌊log N⌋ + 1 로 알 수 있다. 10ⁿ 이 (n+1)자리이므로, log N 의 정수부분(지표)이 자릿수를 정한다. 밑을 고르고 지수를 키워 bᵏ 의 자릿수를 계산해 보자.

4. 지표와 가수 — log 을 정수부와 소수부로

양수 N 에 대해 log N = (정수부분) + (0 이상 1 미만 소수부분) 으로 쓸 때, 정수부분을 지표(characteristic), 소수부분을 가수(mantissa)라 한다.

• 지표는 N 의 크기(자릿수)를 나타낸다. N 이 n자리 자연수면 지표는 n−1.
• 가수는 N 의 숫자 배열(유효숫자)을 나타낸다. 2.5, 25, 250 은 지표만 다르고 가수는 같다.

5. 로그가 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 이유

로그의 핵심 성질은 log(A · B) = log A + log B 다. 로그 스케일 위에서 어떤 값의 "위치"는 log(값)이므로, 두 값을 곱하는 것은 두 위치를 더하는 것과 같다.

이것이 계산자(slide rule)의 원리다. 자 두 개에 로그 눈금을 새기고 밀어서 길이를 더하면, 값의 곱이 읽힌다. 로그 스케일에서는 2 → 20 → 200 이 같은 간격으로 놓이는데, 매번 ×10, 즉 log 로 +1 씩 이동하기 때문이다.

6. 로그 그래프 용지

한 축(또는 두 축)의 눈금 간격이 ×10마다 일정하도록 만든 모눈종이를 반로그·양로그 용지라 한다. 세균 증식, 방사성 붕괴, 복리처럼 y = c · aˣ 꼴로 자라는 데이터는 반로그 용지에 그리면 직선이 된다. log y = (log a) x + log c 이기 때문이다. 직선의 기울기가 log a, y절편이 log c 이므로, 그래프만 보고 증가율을 읽어낼 수 있다.