에듀테크 프로젝트 대시보드
삼각함수 그래프의 변환
고등학교 대수 — 삼각함수 단원. 기본 물결 y = sin x 에 숫자 네 개(a, b, c, d)를 붙이면 높이·너비·좌우·위아래로 자유롭게 늘이고 밀 수 있다. 슬라이더를 움직여 y = a·sin(b(x − c)) + d 가 어떻게 변하는지 눈으로 확인해 보자.
함수를 sin / cos / tan 중에 고르고, 아래 네 슬라이더로 a(진폭) · b(각속도) · c(위상이동) · d(수직이동) 을 바꿔 보자. 회색 점선은 비교용 기준 곡선 y = sin x, 굵은 하늘색이 변환된 곡선이다. 그래프를 좌우로 드래그하면 관찰점 x 를 옮길 수 있다.
합성 모드: y = sin x + sin 2x 처럼 주기가 다른 사인파를 더하면 새로운 파형이 나온다. 이렇게 여러 사인파의 합으로 복잡한 파동을 만드는 이야기가 푸리에 변환이다.
기본형 y = sin x 는 −1 ≤ y ≤ 1, 주기 2π, 원점을 지나는 물결이다. 여기에 상수를 하나씩 붙여 보자.
| 형태 | 이름 | 바뀌는 것 | 예 |
|---|---|---|---|
| y = a·sin x | 진폭 | 최대·최소가 ±|a| 로. a < 0 이면 x축 대칭으로 뒤집힘 | 2 sin x → −2 ~ 2 |
| y = sin(bx) | 각속도 | 주기가 2π / |b| 로. b가 크면 촘촘 | sin 2x → 주기 π |
| y = sin(b(x − c)) | 위상이동 | 그래프가 x축 방향으로 +c 만큼 평행이동 | sin(x − π/2) = −cos x… 실은 sin을 오른쪽으로 π/2 |
| y = sin x + d | 수직이동 | 그래프가 y축 방향으로 +d. 중심선이 y = d | sin x + 1 → 0 ~ 2 |
b(x − c) 처럼 b로 묶은 뒤 읽어야 한다.
sin(2x − π) 는 sin(2(x − π/2)) 이므로 위상이동은 π 가 아니라 π/2 다.
sin 과 cos 는 항상 −1 이상 1 이하다. 그러니 a·sin(bx) 에서 sin 부분이 1일 때 최대 |a|,
−1일 때 최소 −|a| 가 된다. 여기에 d를 더하면 그대로 위로 d만큼 올라간다.
거꾸로 그래프에서 가장 높은 점 M과 가장 낮은 점 m을 읽으면 a와 d를 바로 구할 수 있다. 주기는 이웃한 마루와 마루 사이 간격을 재서 T = 2π/|b| 로 b를 얻는다.
| y = sin x | y = 3 sin x | y = sin 2x | y = sin x + 2 | |
|---|---|---|---|---|
| 진폭 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| 주기 | 2π | 2π | π | 2π |
| 최대 / 최소 | 1 / −1 | 3 / −3 | 1 / −1 | 3 / 1 |
sin 은 원점 대칭(기함수), cos 는 y축 대칭(우함수) 이다. 그래서 sin 그래프를 왼쪽으로 π/2 밀면 cos 와 정확히 겹친다.
tan 은 사정이 다르다. tan x = sin x / cos x 라서 cos x = 0 인 곳(x = π/2 + kπ)에서 분모가 0이 되어
값이 ±∞ 로 치솟는다. 이 세로선을 점근선이라 하고, tan 의 주기는 sin·cos 의 절반인 π 다.
변환하면 점근선은 b(x − c) = π/2 + kπ 를 푼 자리에 생긴다. 위젯에서 함수를 tan 으로 바꾸면 빨간 점선으로 표시된다.
위젯의 합성 모드 를 켜면 y = sin x + sin 2x 처럼 주기가 다른 사인파의 합 을 보여준다.
두 개만 더해도 더 이상 단순한 물결이 아니지만, 여전히 주기함수 다. 반대로 —
세상의 복잡한 주기 신호(사람 목소리, 악기 소리, 심전도)를 잘게 나누면 결국
여러 개의 sin·cos 의 합 으로 쪼갤 수 있다. 그 분해 방법이 푸리에 변환이다.