에듀테크 프로젝트 대시보드
원의 방정식
공통수학2 · 도형의 방정식 — 원은 «중심과 반지름» 으로 정해진다. (x−a)²+(y−b)²=r² 를 전개하면 x²+y²+Ax+By+C=0 꼴이 되고, 거꾸로 완전제곱식으로 묶으면 중심·반지름이 보인다. 상수항의 크기에 따라 «원 / 한 점 / 없음» 이 갈린다.
캔버스에서 원 ① 은 표준형(중심 드래그 + 반지름 슬라이더) 또는 일반형(A·B·C 슬라이더)으로 조절하고, 원 ② 는 중심을 드래그하고 반지름을 슬라이더로 바꾼다. 두 원의 중심 거리 d 를 r₁+r₂, |r₁−r₂| 와 비교해 위치 관계를 판정한다.
아래 칩으로 원 ① 의 입력 방식을 고르세요. 표준형이면 보라 중심을 드래그, 일반형이면 A·B·C 슬라이더를 씁니다. 원 ② 의 주황 중심도 드래그할 수 있습니다.
표준형: – | 일반형: –
중심이 원점이면 x² + y² = r². 원 위의 점 (x, y) 는 중심에서 거리가 항상 r 이라는 뜻이다.
표준형을 전개하면
이므로 A = −2a, B = −2b, C = a² + b² − r². 거꾸로 일반형 x² + y² + Ax + By + C = 0 을 완전제곱식으로 묶으면
우변의 부호가 도형의 종류를 결정한다.
| A² + B² − 4C | 도형 | 중심 / 반지름 |
|---|---|---|
| > 0 | 원 | 중심 (−A/2, −B/2), 반지름 √(A²+B²−4C) / 2 |
| = 0 | 한 점 | 점 (−A/2, −B/2) 하나뿐 (반지름 0) |
| < 0 | 없음 | 식을 만족하는 실수 점이 없다 (허원) |
두 원의 반지름을 r₁, r₂ (r₁ ≥ r₂), 중심 사이의 거리를 d 라 하면:
| 거리 조건 | 위치 관계 | 교점 수 |
|---|---|---|
| d > r₁ + r₂ | 서로 밖에 있다 (외부) | 0 |
| d = r₁ + r₂ | 외접한다 | 1 |
| |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ | 서로 다른 두 점에서 만난다 | 2 |
| d = |r₁ − r₂| | 내접한다 | 1 |
| d < |r₁ − r₂| | 한 원이 다른 원 안에 있다 (내부) | 0 |
| 조건 | 세우는 법 |
|---|---|
| 중심이 (a, b), x축에 접함 | r = |b| → (x−a)² + (y−b)² = b² |
| 중심이 (a, b), y축에 접함 | r = |a| → (x−a)² + (y−b)² = a² |
| 두 점 A, B 를 지름의 양 끝으로 | 중심 = AB의 중점, r = AB / 2 (또는 (x−x₁)(x−x₂)+(y−y₁)(y−y₂)=0) |
| 세 점을 지나는 원 | 일반형에 세 점을 대입해 A, B, C 연립 |