에듀테크 프로젝트 대시보드
내분점과 외분점
공통수학2 · 도형의 방정식 — 두 점 A, B를 잇는 선분을 m:n 으로 나누는 점의 좌표는? 내분점 공식 한 개만 알면 외분점도, 중점도, 삼각형의 무게중심도 전부 같은 원리로 풀린다.
파란 점 A, 흰 점 B 를 드래그해 옮길 수 있다(좌표는 0.5 단위로 맞춰진다). 아래 슬라이더로 비 m:n 을 바꾸면 보라색 점 P 가 실시간으로 움직인다. 내분 / 외분 토글로 P가 선분 안에 있을 때와 밖으로 튀어나갈 때를 비교해 보자. 삼각형(무게중심) 모드에서는 세 꼭짓점과 중선 3개, 무게중심 G가 나타난다.
선분 AB 를 m:n 으로 내분하는 점을 P 라 하자. 즉 AP : PB = m : n. A, P, B 에서 x축에 수선을 내리면 닮은 직각삼각형 두 개가 생기고, 밑변의 길이도 같은 비 m:n 이 된다.
안쪽 · 바깥쪽을 곱해 정리하면
y좌표도 똑같으므로, 한 줄로 쓰면
외분점은 P 가 선분 밖에 있으면서 AP : PB = m : n 인 점이다(P가 밖이라 두 선분이 반대 방향). 방향을 부호로 반영하면 위 식에서 n → −n 을 대입한 것과 같다.
| 상황 | 공식 | P 의 위치 |
|---|---|---|
| m:n 내분 | (mB + nA)/(m + n) | 선분 AB 안 |
| 중점 (1:1) | (A + B)/2 | 선분 한가운데 |
| m:n 외분 (m > n) | (mB − nA)/(m − n) | B 바깥쪽 연장선 |
| m:n 외분 (m < n) | (mB − nA)/(m − n) | A 바깥쪽 연장선 |
| m = n 외분 | 분모 0 | 정의 안 됨 |
삼각형 ABC 에서 각 변의 중점과 마주 보는 꼭짓점을 이은 선분을 중선이라 한다. 중선 3개는 한 점에서 만나고, 그 점이 무게중심 G 다. G 는 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2 : 1 로 내분한다.
변 BC 의 중점을 Mₐ = (B + C)/2 라 하면, G 는 A 와 Mₐ 를 2:1 로 내분한 점이므로
세 꼭짓점 좌표를 그냥 평균 내면 무게중심이 나온다. 위젯의 삼각형 모드에서 꼭짓점을 드래그하며 G 가 항상 세 중선의 교점이자 좌표 평균임을 확인해 보자.
좌표평면이 아니라 수직선 위 두 수 a, b 를 m:n 으로 나눠도 공식은 똑같다 — 그냥 x좌표 하나짜리 버전이다. 아래 위젯에서 노란 점 a, b 를 좌우로 드래그하고, 위쪽 위젯의 m:n 과 내분/외분 설정이 그대로 적용된 결과 점을 확인하자.