평행이동과 대칭이동

공통수학2 · 도형의 방정식 — 좌표평면 위의 도형을 밀거나(평행이동) 뒤집으면(대칭이동) 좌표가 어떻게 바뀔까? 점을 옮길 때와 도형의 방정식을 옮길 때 부호가 정반대가 되는 이유까지 눈으로 확인해 보자.

도형을 통째로 옮기는 규칙은 사실 꼭짓점 하나하나에 같은 규칙을 적용한 것일 뿐이다. 그래서 삼각형이든 곡선이든, 점 하나가 어떻게 움직이는지만 알면 전부 해결된다.

1. 직접 해보기 — 삼각형을 밀고 뒤집기

파란 삼각형의 꼭짓점 A, B, C를 드래그해 모양을 바꿀 수 있다(좌표는 0.5 단위로 맞춰진다). 아래에서 변환을 고르면 보라색 상(像) 삼각형 A′, B′, C′ 이 나타나고, 대응하는 꼭짓점이 점선으로 연결된다. 대칭축·대칭점도 함께 그려진다.

x축 방향 dx +3

y축 방향 dy -2

파랑 = 원본 · 보라 = 변환된 상(像)

지금 삼각형의 꼭짓점 A 좌표를 예로 넣어 각 변환의 결과를 실시간으로 계산한 표다. 선택 중인 변환은 강조된다.

기억법 — x축 대칭은 "x축을 기준으로 위아래로 뒤집기"라서 y의 부호만 바뀐다. y축 대칭은 x의 부호, 원점 대칭은 둘 다, y=x 대칭은 x와 y를 맞바꾸기.

이번엔 곡선이다. y = x² 를 x축 방향으로 m, y축 방향으로 n 만큼 평행이동해 보자. 옮겨진 곡선의 식이 어떻게 되는지 아래 식이 실시간으로 갱신된다.

x축 방향 m 2

y축 방향 n 1.5

y − 0 = (x − 0)²

정리하면 y = (x − m)² + n — 꼭짓점이 원점에서 (m, n) 으로 이동한다.

점 (x, y) 를 x축 방향으로 m 옮기면 새 점은 (x + m, y) 다. 자연스럽다. 그런데 도형의 방정식을 옮길 때는 x 자리에 x − m 을 넣는다. 왜 −m 일까?

평행이동한 도형 위의 점을 (X, Y) 라 하면, 이 점은 원래 도형의 어떤 점 (x, y) 를 옮긴 것이므로

X = x + m, Y = y + n ⟹ x = X − m, y = Y − n

원래 점 (x, y) 는 원래 식 y = f(x) 를 만족하니, 대입하면 Y − n = f(X − m). X, Y 를 다시 x, y 로 쓰면 옮겨진 도형의 식이 나온다.

y − n = f(x − m) (원 f(x, y) = 0 → f(x − m, y − n) = 0)

한마디로, 점을 +m 옮기는 것과 좌표축을 −m 옮기는 것은 같은 그림이다. 식에 들어가는 건 "각 점이 원래 있던 자리"라서 부호가 반대가 된다.

변환은 이어 붙일 수 있다. 예를 들어 x축 대칭 후 y축 대칭 은

(x, y) →^x축 (x, −y) →^y축 (−x, −y)

결과가 원점 대칭 과 같다. 또 y=x 대칭 후 x축 대칭 은 (x,y) → (y,x) → (y,−x) 로, 이는 원점 중심 90° 회전이다. 위젯에서 한 변환을 적용한 뒤 그 결과 좌표를 다시 넣어보며 확인해 보자.

먼저	다음	최종 규칙	정체
x축 대칭	y축 대칭	(−x, −y)	원점 대칭
평행이동 (a,b)	평행이동 (c,d)	(x+a+c, y+b+d)	평행이동 (a+c, b+d)
y=x 대칭	원점 대칭	(−y, −x)	직선 y=−x 대칭

한 줄 요약 — 도형의 이동은 "모든 점에 같은 좌표 규칙"을 적용하는 것. 평행이동은 (x+dx, y+dy), 대칭이동은 부호를 바꾸거나 x↔y 를 맞바꾼다. 단, 도형의 식을 옮길 땐 x→x−m, y→y−n 처럼 부호가 반대다.