합성함수와 역함수

공통수학2 · 함수 — 함수를 «이어서» 적용하면 합성함수 (f∘g)(x) = f(g(x)) 가 되고, «거꾸로» 되돌리는 함수가 역함수 f⁻¹ 다. 역함수는 f 가 일대일대응 일 때만 존재하며, 그래프는 직선 y = x 에 대해 대칭이다.

일차함수 f(x) = a₁x + b₁, g(x) = a₂x + b₂ 의 계수를 슬라이더로 정하고, 화살표 다이어그램 에서 입력 x 를 드래그하며 g(x) → f(g(x)) 의 흐름을 따라가 보자. 그래프 모드에서는 f 위의 점을 드래그하면 y = x 대칭점이 f⁻¹ 위에서 함께 움직인다.

1. 직접 해보기

칩으로 화살표 다이어그램 ↔ 그래프 를 전환하세요. 슬라이더로 f, g 의 계수를 바꾸면 합성함수 식과 그래프가 즉시 갱신됩니다. 다이어그램 모드에서는 왼쪽 x 눈금의 점을 위아래로 드래그합니다.

f 기울기 a₁2.0

f 절편 b₁1.0

입력 x1.0

g 기울기 a₂0.5

g 절편 b₂-1.0

g(x)

–

(f∘g)(x) = f(g(x))

–

(g∘f)(x)

–

f⁻¹ 존재?

–

f∘g: – | f⁻¹: –

2. 합성함수

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) — 먼저 g 를 적용하고, 그 결과에 f 를 적용

정의역·공역이 맞아야 한다. g: X → Y, f: Y → Z 일 때 f∘g: X → Z. g 의 치역이 f 의 정의역에 포함되어야 합성이 정의된다.

성질	내용
교환법칙 성립 안 함	일반적으로 f∘g ≠ g∘f
결합법칙 성립	(f∘g)∘h = f∘(g∘h)
항등함수 I(x) = x	f∘I = I∘f = f

일차함수의 합성 — f(x) = a₁x + b₁, g(x) = a₂x + b₂ 이면 (f∘g)(x) = a₁(a₂x + b₂) + b₁ = a₁a₂ x + (a₁b₂ + b₁). 합성해도 다시 일차함수(또는 상수함수)이고, 기울기는 두 기울기의 곱이다.

3. 역함수

함수 f: X → Y 가 일대일대응(서로 다른 입력은 서로 다른 출력, 그리고 Y 를 빠짐없이 덮음)일 때, y = f(x) 를 x = f⁻¹(y) 로 되돌리는 역함수가 존재한다.

y = f(x) ⟺ x = f⁻¹(y) (그 다음 x 와 y 를 맞바꿔 y = f⁻¹(x) 로 쓴다)

성질	내용
존재 조건	f 가 일대일대응 (일차함수는 기울기 ≠ 0 이면 OK)
되돌리기	(f∘f⁻¹)(x) = x, (f⁻¹∘f)(x) = x
그래프	y = f(x) 와 y = f⁻¹(x) 는 직선 y = x 에 대해 대칭
점의 대응	(a, b) ∈ f ⟺ (b, a) ∈ f⁻¹
합성의 역함수	(f∘g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹ (순서가 뒤바뀐다)

일차함수 f(x) = ax + b (a ≠ 0) → f⁻¹(x) = (x − b) / a

왜 y = x 대칭인가? 점 (a, b) 가 y = f(x) 위에 있으면 b = f(a), 따라서 a = f⁻¹(b) 이므로 (b, a) 는 y = f⁻¹(x) 위에 있다. (a, b) 와 (b, a) 는 직선 y = x 에 대해 서로 대칭인 점이다. 그래서 두 그래프의 교점은(있다면) 대개 y = x 위에서 만난다.

한 줄 요약 — (f∘g)(x) = f(g(x)), 순서 중요(f∘g ≠ g∘f). 역함수는 f 가 일대일대응일 때만 존재하고 y = x 대칭이며 (f∘f⁻¹)(x) = x.

관련: 유리함수의 그래프 · 명제와 조건 · 역·이·대우와 필요충분조건