역·이·대우와 필요충분조건

공통수학2 · 집합과 명제 — 명제 p → q 하나에서 역·이·대우가 파생된다. 이 중 원래 명제와 대우는 참·거짓이 항상 같고, 역과 이도 서로 참·거짓이 같다. 진리집합의 포함 관계 P ⊂ Q / Q ⊂ P / P = Q 로 충분·필요·필요충분조건이 갈린다.

캔버스에서 진리집합 P(파랑) 는 고정, Q(주황) 는 중심을 드래그하고 슬라이더로 반지름을 바꾼다. P ⊂ Q 를 만들면 원명제·대우가 참, Q ⊂ P 를 만들면 역·이가 참, P = Q 면 넷 다 참이자 «필요충분조건» 이다.

1. 직접 해보기

주황 원 Q 의 중심을 드래그하고 슬라이더로 P·Q 반지름을 조절하세요. 네 명제(원명제·역·이·대우)의 참·거짓 배지가 실시간으로 바뀝니다.

P 반지름 2.4

Q 반지름 2.4

원명제 p → q

–

역 q → p

–

이 ~p → ~q

–

대우 ~q → ~p

–

2. 역 · 이 · 대우

명제 p → q 에 대하여:

이름	명제	만드는 법
원명제	p → q	기준
역 (converse)	q → p	가정과 결론을 바꾼다
이 (inverse)	~p → ~q	가정·결론을 각각 부정한다
대우 (contrapositive)	~q → ~p	바꾸고 + 부정한다 (역의 이)

원명제 ⟺ 대우 (참·거짓 일치) | 역 ⟺ 이 (참·거짓 일치)

왜 원명제와 대우는 참·거짓이 같은가? 진리집합으로 보면 p → q 가 참 ⟺ P ⊂ Q. 그런데 P ⊂ Q ⟺ Qᶜ ⊂ Pᶜ (여집합을 취하면 포함 관계가 뒤집힌다). Qᶜ ⊂ Pᶜ 는 바로 대우 ~q → ~p 가 참이라는 뜻이다. 그래서 항상 일치한다. 원명제가 참이어도 역은 참일 수도, 거짓일 수도 있다.

대우를 이용한 증명 (귀류법의 사촌) — p → q 를 직접 보이기 어려울 때, 동치인 대우 ~q → ~p 를 대신 증명한다. 예: 「n² 이 짝수이면 n 도 짝수」 → 대우 「n 이 홀수이면 n² 도 홀수」 를 보이면 된다.

3. 충분조건 · 필요조건 · 필요충분조건

p → q 가 참일 때, «p 는 q 이기 위한 충분조건», «q 는 p 이기 위한 필요조건» 이라고 한다. 화살표가 나가는 쪽이 충분, 들어오는 쪽이 필요다.

포함 관계	기호	p 는 q 에 대해
P ⊂ Q (p→q 참, q→p 거짓)	p ⇒ q	충분조건 (필요조건은 아님)
Q ⊂ P (q→p 참, p→q 거짓)	q ⇒ p	필요조건 (충분조건은 아님)
P = Q (p→q, q→p 모두 참)	p ⇔ q	필요충분조건 (서로 동치)
포함 관계 없음	–	아무 조건도 아님

"p 는 q 이기 위한 필요충분조건" ⟺ P = Q ⟺ p → q 와 q → p 가 모두 참

4. 분류 연습

각 명제에서 «p 는 q 이기 위한 어떤 조건인가?» 를 생각한 뒤 칩을 눌러 확인하세요. (x 는 실수)

한 줄 요약 — 원명제와 대우는 늘 참·거짓이 같다(P ⊂ Q ⟺ Qᶜ ⊂ Pᶜ). 역과 이도 서로 같다. P ⊂ Q 면 p 는 q 의 충분조건, Q ⊂ P 면 필요조건, P = Q 면 필요충분조건.

관련: 명제와 조건 · 집합과 벤 다이어그램 · 합성함수와 역함수