명제의 증명 — 대우와 귀류법

공통수학2 · 집합과 명제 — p → q 를 직접 보이기 어려울 때, 대우 ~q → ~p 를 증명하거나(원명제와 참·거짓 일치), 결론을 부정했더니 모순이 생김을 보인다(귀류법).

1. 직접 해보기

예제를 골라(칩) 그 명제의 대우와 귀류법 가정을 확인하자. ‘n² 이 짝수이면 n 도 짝수’, ‘√2 는 무리수’ 등.

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명제와 그 대우는 참·거짓이 항상 같다(진리집합으로 보면 P ⊂ Q ⇔ Qᶜ ⊂ Pᶜ). 반면 역·이는 원명제와 참·거짓이 일치하지 않는다. ‘모든 …’ 을 반박할 때는 반례 하나면 충분.

핵심 p→q 를 직접 못 하면 대우 ~q→~p (동치) 를 증명하거나, 결론을 부정해 모순을 이끄는 귀류법을 쓴다.