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직선의 방정식
공통수학2 · 도형의 방정식 — 직선 하나는 «기울기와 한 점», 또는 «지나는 두 점»으로 완전히 결정된다. 두 직선이 평행한지 수직인지는 기울기만 비교하면 되고, 점에서 직선까지의 거리는 공식 한 줄로 끝난다.
아래 캔버스에는 슬라이더로 조절하는 직선 ℓ₁: y = mx + n 과, 파란 두 점 A, B 를 드래그해서 만드는 직선 ℓ₂, 그리고 초록 점 P 가 있다. P를 옮기면 P에서 ℓ₁ 에 내린 수선(거리 d)이 실시간으로 그려진다. 두 직선의 기울기 곱 m·m₂ 와 관계 판정도 함께 확인해 보자.
파란 점 A·B 와 초록 점 P 를 드래그하세요. 슬라이더로 ℓ₁ 의 기울기 m 과 y절편 n 을 조절합니다. ℓ₁ 과 ℓ₂ 가 평행(m = m₂)이면 파란 배지가, 수직(m·m₂ = −1)이면 주황 배지가 켜집니다.
ℓ₁: – | ℓ₂: –
어떤 정보가 주어졌느냐에 따라 쓰기 편한 형태가 다르다. 모두 정리하면 같은 직선이다.
| 주어진 것 | 직선의 방정식 | 메모 |
|---|---|---|
| 기울기 m, 한 점 (x₁, y₁) | y − y₁ = m(x − x₁) | 가장 많이 쓰는 꼴 |
| y절편 n, 기울기 m | y = mx + n | 그래프 그리기 좋음 |
| 서로 다른 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂) | y − y₁ = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) · (x − x₁) | x₁ = x₂ 이면 x = x₁ (수직선) |
| x절편 a, y절편 b (둘 다 0 아님) | x/a + y/b = 1 | 절편형 |
| 일반형 | ax + by + c = 0 | 모든 직선을 표현 (a, b 동시에 0 아님) |
두 직선 y = m₁x + n₁, y = m₂x + n₂ 에 대해:
| 관계 | 기울기 조건 | 일반형 a₁x+b₁y+c₁=0, a₂x+b₂y+c₂=0 에서 |
|---|---|---|
| 평행 (겹치지 않음) | m₁ = m₂, n₁ ≠ n₂ | a₁b₂ − a₂b₁ = 0, b₁c₂ − b₂c₁ ≠ 0 |
| 일치 | m₁ = m₂, n₁ = n₂ | a₁:b₁:c₁ = a₂:b₂:c₂ |
| 수직 | m₁ · m₂ = −1 | a₁a₂ + b₁b₂ = 0 |
점 P(x₀, y₀) 에서 직선 ax + by + c = 0 까지의 (수직) 거리는
직선을 y = mx + n, 즉 mx − y + n = 0 으로 두면 a = m, b = −1, c = n 이므로
원점에서 직선까지의 거리는 x₀ = y₀ = 0 을 넣어 d = |c| / √(a² + b²). 두 평행선 사이의 거리는 한 직선 위의 아무 점이나 잡아 다른 직선까지의 거리를 구하면 된다.
두 직선 L₁: a₁x+b₁y+c₁ = 0, L₂: a₂x+b₂y+c₂ = 0 이 한 점에서 만날 때, 다음 식은 상수 k 값에 관계없이 그 교점을 지나는 직선을 나타낸다.
교점의 좌표를 직접 구하지 않고도, 조건(예: 어떤 점을 지난다 / 어떤 직선에 평행하다)에 맞는 k 를 찾으면 된다. 단 이 식으로는 L₂ 자기 자신은 표현되지 않는다.