명제와 조건

공통수학2 · 집합과 명제 — 조건 p 를 참으로 만드는 원소들을 모으면 «진리집합 P» 가 된다. 명제 p → q 가 참이라는 것은 «P 의 모든 원소가 Q 에 들어간다», 즉 P ⊂ Q 라는 뜻이다.

아래 캔버스에는 전체집합 U 안에 두 진리집합 P(파랑), Q(주황) 가 겹쳐 있다. 숫자 원소들을 드래그해서 P·Q 안팎으로 옮겨 보자. P 에는 있지만 Q 에는 없는 원소가 하나라도 생기면 그 원소가 곧 «반례» 이고, 그 순간 p → q 는 거짓이 된다.

1. 직접 해보기

숫자 점을 드래그하여 네 영역(둘 다 아님 / P만 / Q만 / P∩Q) 중 원하는 곳에 놓으세요. 아래 '모든' · '어떤' 버튼으로 전칭·존재 명제의 참·거짓과 부정도 확인할 수 있습니다.

진리집합 P

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진리집합 Q

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반례 (P 이고 not Q)

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2. 명제와 조건, 진리집합

용어	뜻	예
명제	참·거짓을 분명히 판별할 수 있는 문장이나 식	「2는 소수이다」(참)
조건	변수의 값에 따라 참·거짓이 갈리는 문장 p(x)	「x > 3」, 「x 는 짝수」
진리집합 P	전체집합 U 의 원소 중 조건 p 를 참으로 만드는 것 전체	p(x): x>3, U=자연수 → P={4,5,6,…}

조건을 이어 붙이면 진리집합도 집합 연산으로 대응된다.

합성 조건	진리집합
p 그리고 q	P ∩ Q
p 또는 q	P ∪ Q
p 가 아니다 (~p)	Pᶜ (여집합)

3. p → q 의 참·거짓

p → q 가 참 ⟺ P ⊂ Q

「p 이면 q 이다」가 참이라는 것은, p 를 만족하는 모든 것이 q 도 만족한다는 뜻이다. 그림으로는 P 가 Q 안에 쏙 들어가 있는 상태다.

반례 (counterexample) — p → q 가 거짓임을 보이려면, p 는 만족하지만 q 는 만족하지 않는 예 를 딱 하나만 찾으면 된다. 즉 P ∩ Qᶜ 의 원소. 이런 원소가 존재하면 P ⊄ Q 이고 명제는 거짓이다. 예: 「x² > 4 이면 x > 2 이다」 는 x = −3 이라는 반례 때문에 거짓.

참인 명제와 포함 관계 — P ⊂ Q 이면 「x ∈ P → x ∈ Q」 가 참이고, P = ∅ 이면(p 를 만족하는 것이 아예 없으면) p → q 는 자동으로 참으로 약속한다(공허하게 참).

4. '모든' 과 '어떤' — 전칭·존재 명제

명제	참이 되는 조건	거짓임을 보이려면
모든 x 에 대하여 p(x)	P = U	p(x) 가 거짓인 x 하나 (반례)
어떤 x 에 대하여 p(x)	P ≠ ∅	모든 x 에서 p(x) 가 거짓임을 보임

~(모든 x, p(x)) ≡ 어떤 x, ~p(x) / ~(어떤 x, p(x)) ≡ 모든 x, ~p(x)

전칭 명제의 부정은 존재 명제, 존재 명제의 부정은 전칭 명제가 된다. 부정할 때 조건 자체도 ~p 로 바뀐다.

한 줄 요약 — 조건 p 의 진리집합을 P 라 할 때 p → q 가 참 ⟺ P ⊂ Q. 거짓임은 P ∩ Qᶜ 의 원소(반례) 하나로 보인다. '모든'의 부정은 '어떤 ~', '어떤'의 부정은 '모든 ~'.

관련: 집합과 벤 다이어그램 · 역·이·대우와 필요충분조건 · 합성함수와 역함수