절대부등식 — 산술평균과 기하평균

공통수학2 · 집합과 명제 — 양수 a, b 에 대해 산술평균 ≥ 기하평균: (a+b)/2 ≥ √(ab), 등호는 a = b 일 때. x + k/x (x > 0) 는 x = √k 에서 최소 2√k.

1. 직접 해보기

상수 k 를 조절하면 y = x + k/x (x > 0) 곡선이 바뀐다. 최솟값 2√k (수평선)와 그것이 나오는 x = √k (수직선)를 확인하자.

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산술·기하평균을 최댓값·최솟값에 쓰려면 ① 두 수가 양수, ② 곱(또는 합)이 상수, ③ 등호 성립이 가능 — 이 세 조건을 반드시 확인. 등호가 정의역에서 불가능하면 그 값은 최솟값이 아니다.

핵심 양수의 산술평균은 기하평균 이상, 등호는 두 수가 같을 때. ‘곱이 일정한 두 양수의 합의 최소’ 문제의 핵심 도구.