유리함수와 무리함수의 그래프

공통수학2 「함수」 — 유리함수 y = k/(x−p) + q 는 기본 곡선 y = k/x 를 옆으로 p, 위로 q 만큼 평행이동한 것이다. 무리함수 y = a√(x−p) + q 는 x² 의 역함수 조각이다. 슬라이더로 직접 움직여 보자.

왜 흥미로운가 — 복잡해 보이는 분수식·근호식도 결국 “아는 그래프를 밀고 뒤집은 것”이다. 점근선이 어디로 가는지, 정의역이 왜 잘리는지, 그리고 √ 와 ² 가 어떻게 서로를 되돌리는지 한 화면에서 확인할 수 있다.

1. 직접 해보기

아래 유리함수 / 무리함수 버튼으로 모드를 바꾸고 슬라이더를 움직이면 곡선과 점근선이 즉시 반응한다. 캔버스를 클릭·드래그하면 이동량 (p, q) 를 한 번에 잡을 수 있다.

k (분자·모양) 2.0

a (방향·기울기) 1.5

p (가로 이동) 0.0

q (세로 이동) 0.0

기본 곡선 y = k/x 함께 보기 (평행이동 전) 역함수 관계 보기 y = x 대칭 · √ ↔ ²

y = k/(x−p) + q 점근선 (점선) 기본 곡선 y = k/x

식

y = 2/x

세로 점근선

x = 0

가로 점근선

y = 0

정의역 · 치역

x≠0 · y≠0

y = 2 / (x − 0) + 0 = 2 / x

2. 일반형 y = (bx + c)/(x + d) 를 표준형으로

교과서 문제는 대부분 일반형으로 나온다. 분자를 분모로 나누면 (분자에서 분모의 배수를 빼내면) 항상 y = k/(x − p) + q 꼴이 된다. b, c, d 를 움직여 변형 과정을 따라가 보자.

b (x 계수) 2

c (상수항) 1

d (분모 상수) 1

3. 평행이동으로 이해하는 유리함수

유리함수의 정체는 단 하나, 반비례 그래프 y = k/x 의 평행이동이다. x 자리에 (x − p) 를 넣으면 그래프가 오른쪽으로 p, 식 전체에 + q 를 하면 위로 q 만큼 움직인다. 두 점근선도 똑같이 따라 움직인다.

	y = k/x (기본)	y = k/(x−p) + q (평행이동)
세로 점근선	x = 0 (y축)	x = p
가로 점근선	y = 0 (x축)	y = q
정의역	x ≠ 0 인 모든 실수	x ≠ p 인 모든 실수
치역	y ≠ 0 인 모든 실수	y ≠ q 인 모든 실수
대칭 중심	원점 (0, 0)	(p, q)
k > 0 / k < 0	k > 0 이면 1·3사분면 모양, k < 0 이면 2·4사분면 모양. \|k\| 가 클수록 원점에서 멀어진다.

점근선은 “곡선이 한없이 가까워지지만 절대 닿지 않는 직선”이다. 유리함수에서 세로 점근선은 분모가 0 이 되는 x 값(정의역에서 빠지는 값), 가로 점근선은 x → ±∞ 일 때 y 가 다가가는 값이다.

4. 무리함수: 정의역과 역함수

무리함수 y = a√(x − p) + q 에서 근호 안은 음수가 될 수 없으므로 x − p ≥ 0, 즉 정의역은 x ≥ p 로 잘린다. 그래프는 점 (p, q) 에서 시작하는 반쪽 곡선이다.

a > 0 : 오른쪽 위로 뻗음 → 치역 y ≥ q
a < 0 : 오른쪽 아래로 뻗음 → 치역 y ≤ q
|a| 가 클수록 가파르게 올라가거나 내려간다.

가장 기본인 y = √x 는 y = x² (단, x ≥ 0) 의 역함수다. x 와 y 를 맞바꾸면 x = y² → y = √x 가 되고, 이는 그래프를 직선 y = x 에 대해 대칭이동한 것과 같다. 위 위젯에서 무리함수 모드의 역함수 관계 보기를 켜면 √ 곡선과 그 짝이 되는 포물선 조각이 y = x 를 접는 선으로 겹쳐지는 것을 볼 수 있다.

√x 의 역함수 : y = x² (x ≥ 0) · 일반형 a√(x−p)+q 의 역함수 : y = ((x − q)/a)² + p

한 줄 요약 — 유리함수 y = k/(x−p)+q 는 반비례 곡선 y = k/x 를 (p, q) 만큼 민 것이라 점근선이 x = p, y = q 로 옮겨가고, 무리함수 y = a√(x−p)+q 는 x² 의 역함수 조각이라 정의역이 x ≥ p 로 잘리며 y = x 대칭으로 √ 와 ² 가 서로를 되돌린다.
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